수학 공부, 개념부터 확! 잡아라

- 나침반 36.5도 -

 수학 개념 학습 어떻게 할까?

수학 공부에서 가장 중요한 것은 개념학습이라고 모두들 입을 모아 말한다. 그런데 수학의 개념이 무엇이고, 어떻게 개념학습을 해야 할지를 두고는 의견이 분분하다. 개념이 무엇인지, 그리고 어떻게 공부해야 하는지를 정확히 이해하지 않는다면 개념학습을 외치는 목소리는 그저 선언적인 수준에 그치고 말 뿐이다.

수학 학습에서의 '개념'은 수학의 본질적인 구조 그 자체와 그것을 둘러싼 연결 관계를 통틀어 말하는 것이다. 수학은 정의(定義)와 정리(定理)의 학문이다. '정의'는 초등학교와 중학교에서는 약속이나 뜻으로 표현한다. '정리'는 정의나 이전의 다른 사실로부터 만들어지는 새로운 사실이다. 쉽게 말하면 공식이나 성질, 법칙 등을 말한다.

가장 핵심적인 개념인 정의와 그로부터 파생되는 정리를 공부하는 것이 개념학습의 중요한 대상이 된다. 그리고 이것들을 연결하는 것은 더욱 중요한 개념학습이다.

수학 개념학습 3단계

수학의 개념학습은 3단계로 이루어진다.

1단계는 정의를 이해하는 과정이다. 교과서에 나온 정의를 그대로 받아들여야 하고 깊이 새겨야 한다. 개념의 정의 그 자체를 이해하는 것이다.

정의 자체를 이해하려면 그렇게 정의한 이유를 생각해 봐야 한다. 암기하는 것이 아니라 이해하는 것이다. 정의를 이해하지 못하고 그저 단순하게 암기하고 넘어가면 언젠가는 기억에서 사라지고 만다.

예컨데 소수의 정의는 '1보다 큰 자연수 중 1과 자기 자신만을 약수로 가지는 수'이다. 왜 1을 소수에서 제외했는가를 고민한 적이 없는 학생은 언젠가는 1보다 큰 자연수 중에서 소수를 생각한다는 개념이 사라진다.

2단계는 개념의 성질을 이해하는 것이다. 그런데 이 성질(정리, 법칙, 공식) 역시 그냥 암기만 할 것이 아니라, 개념의 정의나 이전 개념의 성질로부터 논리적으로 유도하는 과정을 학습해야 한다. 그 유도과정을 스스로 이해할 수 있는 것이 2단계 개념학습이다.

공식 암기식 학습은 개념을 충분히 이해하지 못한 상태에서 공식을 대입해 기계적으로 문제를 푸는 방식이다.

3단계는 지금 배운 개념을 이전과 연결시키는 것이다. 새로운 수학 개념을 학습하면 그 개념과 연결된 이전의 개념을 모조리 끌어내 연결하는 것이다. 이것이 개념을 충분히 이해하는 것이다. 그래서 수학의 모든 개념이 자신의 머릿속에서 다 연결돼 있다는 것을 깨닫게 되면 내적 동기가 커지면서 수학을 좋아하게 된다.

개념이 충분히 연결되면 심화문제나 사고력 문제가 해결된다. 문제 풀이 기법이나 공식을 외워서 푼 것이 아니라 자기 힘으로 어려운 문제를 풀어냈을 때 학생들은 성취감과 함께 깊은 희열을 느끼게 된다.

수학의 개념이 모두 연결되어 하나가 된다는 생각은 수학은 강력하다는 생각으로 연결되며, 그래서 수학을 공부할 필요를 느끼게 된다. 그리고 새로운 개념이 결코 처음 만나는 생소한, 그래서 이전 것과 문관하게 새로 시작해야 하는 낯선 것이 아니며, 자기가 그동안 익히 알고 있던 것과 비슷한 것에 불과하다는 생각을 가짐으로써 자신의 개념 영역을 조금씩 넓혀 나가는 것이다.

개념을 충분히 이해했다는 말은 1, 2, 3단계 학습을 다 마쳐야 가능한데, 여기서 어려운 것은 3단계의 연결이 어디까지냐 하는 한계다. 3단계 성명에서 '충분히'라는 말은 '끝까지', 즉 수학의 시작까지 거슬러 올라가며 연결시키는 것을 말한다. 그래서 결국 학생들로서는 초등학교 수학까지 가야 하는 것이고, 수학을 하는 입장에서는 공리까지 가야 충분하다고 할 수 있다.

이런 개념학습을 하려면 수학 개념을 가장 정확하게 설명하고 있는 교과서를 버려서는 안 된다.

교과서를 버린 학생들은 시중에서 수학사전을 구해서라도 과거의 개념을 다시 연결하면서 공부해야 한다.

초등학교 고학년은 초등수학사전이 필요하며, 중학교 역시 초등수학사전이 필요하다. 중학교 고학년이나 고등학생은 중학수학사전을 이용해 과거 개념을 연결해야 한다.

이 두 사전은 과거와 현재, 그리고 미래의 수학 개념을 연결하는 지도를 제공하고 있다. 이를 통해서 스스로 수학 개념의 연결성을 파악하고 부족한 부분의 시작점, 그리고 지금 공부하고 있는 개념의 미래 모습을 찾아갈 수 있다.

[출처] 수학 공부, 개념부터 확! 잡아라 - 나침반 36.5도|작성자 나침반36 5도 에듀진